Die Methode des Widerspruchsbeweises: Um zu beweisen, dass etwas wahr ist, nehmen wir zunächst an, das Gegenteil sei wahr. Wir verfolgen diese Annahme Schritt für Schritt, bis wir auf einen logischen Widerspruch stoßen – also auf etwas, das unmöglich ist (z. B. dass eine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade ist). Dieser Widerspruch beweist, dass unsere ursprüngliche Annahme falsch gewesen sein muss. Folglich muss das, was wir ursprünglich beweisen wollten, wahr sein.
Der Beweis für die Irrationalität von √2:
- Annahme: Wir nehmen das Gegenteil an: √2 ist eine rationale Zahl. Das bedeutet, sie lässt sich als ein vollständig gekürzter Bruch a/b schreiben, wobei a und b ganze Zahlen sind und keine gemeinsamen Teiler haben.
- Umformung: Wir stellen die Gleichung √2 = a/b auf und quadrieren beide Seiten. Das ergibt 2 = a²/b². Stellt man diese Gleichung um, erhält man a² = 2b².
- Erste Folgerung: Da a² das Doppelte von b² ist, muss a² eine gerade Zahl sein. Eine wichtige Regel besagt: Wenn das Quadrat einer Zahl gerade ist, muss auch die Zahl selbst gerade sein. Also ist a gerade.
- Zweite Folgerung: Wenn a gerade ist, können wir a als 2k schreiben (wobei k eine ganze Zahl ist). Setzen wir das in unsere Gleichung ein: (2k)² = 2b², was zu 4k² = 2b² wird. Teilen wir durch 2, erhalten wir 2k² = b².
- Dritte Folgerung: Diese neue Gleichung zeigt, dass auch b² eine gerade Zahl sein muss. Nach derselben Regel wie oben muss also auch b selbst eine gerade Zahl sein.
- Der Widerspruch: Wir haben nun gezeigt, dass sowohl a als auch b gerade Zahlen sind. Dies widerspricht aber unserer anfänglichen Annahme, dass der Bruch a/b vollständig gekürzt ist. Wenn a und b beide gerade sind, haben sie den gemeinsamen Teiler 2, was bedeutet, dass der Bruch nicht vollständig gekürzt war.
- Schlussfolgerung: Da unsere Annahme zu einem unlösbaren Widerspruch geführt hat, muss die Annahme falsch sein. Daher ist √2 keine rationale Zahl, sondern eine irrationale Zahl.