Prüfungsvorbereitung - Quadratische Funktionen

1. Bestimme die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(0|−5), B(1|3) und C(2|17) verläuft.

Die allgemeine Form der gesuchten Gleichung lautet:
$$y = ax^2 + bx + c$$
Wir setzen die gegebenen Punkte ein:

Für $A(0\,|\,-5)$:
$$-5 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$$
$$\text{(I)} \quad c = -5$$

Für $B(1\,|\,3)$:
$$3 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c$$
$$3 = a + b - 5$$
$$\text{(II)} \quad a + b = 8$$

Für $C(2\,|\,17)$:
$$17 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$$
$$17 = 4a + 2b - 5$$
$$\text{(III)} \quad 4a + 2b = 22$$

Nun lösen wir das Gleichungssystem:

Aus (II):
$$b = 8 - a$$

Einsetzen in (III):
$$4a + 2(8 - a) = 22$$
$$4a + 16 - 2a = 22$$
$$2a + 16 = 22$$
$$2a = 6$$
$$a = 3$$

Einsetzen von $a = 3$ in (II):
$$3 + b = 8$$
$$b = 5$$

Damit lautet die gesuchte Gleichung:
$$y = 3x^2 + 5x - 5$$

Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet:

$$y = a(x - xs)^2 + ys$$

Um den Scheitelpunkt zu berechnen, nutzen wir die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts:

$$x_s = -\frac{b}{2a}$$

Einsetzen der Werte $a = 3$ und $b = 5$:

$$x_s = -\frac{5}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{6}$$

Nun berechnen wir die y-Koordinate, indem wir $x_s$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$$y_s = 3 \left( -\frac{5}{6} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{6} \right) - 5$$

Berechnen der Terme:

$$y_s = 3 \cdot \frac{25}{36} - \frac{25}{6} - 5$$

$$= \frac{75}{36} - \frac{150}{36} - \frac{180}{36}$$

$$= \frac{75 - 150 - 180}{36} = \frac{-255}{36} = -\frac{85}{12}$$

Damit lautet der Scheitelpunkt:

$$S \left( -\frac{5}{6}, -\frac{85}{12} \right)$$