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Nullstellen von Funktionen

Nullstellen von Funktionen

Zielsetzung:

Die Schüler:innen lernen, wie sie die Nullstellen einer Funktion rechnerisch bestimmen und graphisch überprüfen können. Dabei vertiefen sie ihr Verständnis für Gleichungen und funktionale Zusammenhänge.

Inhalte und Methoden:

  • Bestimmung von Nullstellen durch Gleichsetzen von Funktionsgleichungen
  • Lösung der entstehenden Gleichungen
  • Darstellung der Funktionen und Nullstellen im Koordinatensystem
  • Kombination aus rechnerischer und graphischer Herangehensweise zur Überprüfung der Ergebnisse
  • Anwendung auf verschiedene Funktionstypen (z.B. lineare, quadratische, exponentielle, logarithmische Funktionen)

Kompetenzen:

  • Gleichungen lösen, Funktionen analysieren, Koordinatensystem nutzen
  • Verknüpfung von algebraischen und graphischen Lösungsansätzen

Zielgruppe und Niveau:

Die Aufgaben erfordern grundlegende Kenntnisse über Funktionen, Gleichungen und das Koordinatensystem.

Sekundarstufe I (Klasse 8–10): Einführung und Übung mit linearen und quadratischen Funktionen

Sekundarstufe II (Oberstufe): Erweiterung auf komplexere Funktionen (z. B. Exponential-, Logarithmus-, oder Polynomfunktionen)

DC
EF
FI
GL

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Target group and level

Sekundarstufe I (Klasse 8–10): Einführung und Übung mit linearen und quadratischen FunktionenSekundarstufe II (Oberstufe): Erweiterung auf komplexere Funktionen (z. B. Exponential-, Logarithmus-, oder Polynomfunktionen)

Subjects

Mathematics
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Nullstellen von Funktionen

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Welche Kompetenzen werden auf diesem Blatt trainiert?

  1. Bestimmung von Nullstellen einer Funktion
  2. Lösen von Gleichungen.
  3. Zeichnen von Graphen und Punkten in ein Koordinatensystem
  4. Verständnis für funktionale Zusammenhänge durch visuelle Darstellung.
  5. Überprüfung der rechnerisch bestimmten Nullstellen durch graphische Darstellung.

1. Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=3x2+5x−5 f(x)= 3x² +5x -5

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzen wir die Funktion gleich 0:

3x2+5x−5=0 3x^2 + 5x - 5 = 0

Die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen wir mit der Mitternachtsformel:

x1,2=−5±52−4⋅3⋅(−5)2⋅3 x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3}

x1,2=−5±25+606 x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 60}}{6}

x1,2=−5±856 x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{6}

Die Nullstellen sind also:

x1=−5+856,x2=−5−856 x1 = \frac{-5 + \sqrt{85}}{6}, \quad x2 = \frac{-5 - \sqrt{85}}{6}

Ergebnis: Die Nullstellen sind N1(0∣−5+856) und N2(0∣−5−856).\textbf{Ergebnis:} \text{ Die Nullstellen sind } N1 \left(0 \bigg| \frac{-5 + \sqrt{85}}{6}\right) \text{ und } N2 \left(0 \bigg| \frac{-5 - \sqrt{85}}{6}\right).

2. ✍️ Zeichne die Funktion f(x) in ein Koordinatensystem und überprüfe so die ermittelten Nullstellen aus Aufgabe 1.

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