Nullstellen und Schnittstellen von Funktionen

Um die Schnittpunkte zu bestimmen, setzen wir die beiden Ausdrücke gleich:

$$3x^2 + 5x - 5 = 2x - 1$$

Nun bringen wir alles auf eine Seite:

$$3x^2 + 5x - 5 - 2x + 1 = 0$$

$$3x^2 + 3x - 4 = 0$$

Die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen wir mit der Mitternachtsformel:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3}$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 48}}{6}$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{6}$$

Die zwei Lösungen für $x$ sind:

$$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{57}}{6}$$

$$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{57}}{6}$$

Nun berechnen wir die zugehörigen $y$-Werte, indem wir die Werte für $x$ in $g(x)$ einsetzen:

$$y_1 = 2\left(\frac{-3 + \sqrt{57}}{6}\right) - 1 = \frac{-6 + 2\sqrt{57}}{6} - 1 = \frac{\sqrt{57} - 6}{3}$$

$$y_2 = 2\left(\frac{-3 - \sqrt{57}}{6}\right) - 1 = \frac{-6 - 2\sqrt{57}}{6} - 1 = \frac{-\sqrt{57} - 6}{3}$$

$\textbf{Ergebnis:}$ Die Schnittpunkte sind

$$S1\left( \frac{-3 + \sqrt{57}}{6} \ \big|\ \frac{\sqrt{57} - 6}{3} \right) \quad \text{und} \quad S2\left( \frac{-3 - \sqrt{57}}{6} \ \big|\ \frac{-\sqrt{57} - 6}{3} \right).$$

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzen wir die quadratische Gleichung gleich Null:

$$3x^2 + 5x - 5 = 0$$

Anwenden der Mitternachtsformel:

$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3}$$

Berechnung der Diskriminante:

$$\sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)} = \sqrt{25 + 60} = \sqrt{85}$$

Bestimmung der Lösungen:

$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{6}$$

Für die lineare Gleichung setzen wir sie gleich Null:

$$2x - 1 = 0$$

Lösen nach $x$:

$$x = \frac{1}{2}$$

Ergebnis: Die Nullstellen sind:

$$N1\left( \frac{-5 + \sqrt{85}}{6},\ 0 \right), \quad N2\left( \frac{-5 - \sqrt{85}}{6},\ 0 \right), \quad N_3\left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$$