Stochastik: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1:

Elsa hat eine Truhe mit 6 magischen Kristallen, von denen 2 rot, 2 blau und 2 grün sind. Sie zieht ohne Zurücklegen zwei Kristalle nacheinander.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall rot ist.

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kristalle blau sind.

c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gezogene Kristall grün ist.

d) Definiere das Ereignis, dass mindestens ein gezogener Kristall rot ist, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

e) Definiere das Ereignis, dass kein gezogener Kristall blau ist, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

f) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Kristall grün ist, gegeben dass der erste Kristall rot war.

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Aufgabe 2:

Anna hat eine Kiste mit 15 verschiedenen Schneeflocken, von denen 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig sind. Sie zieht ohne Zurücklegen drei Schneeflocken nacheinander.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Schneeflocke sternförmig ist.

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Schneeflocken herzförmig sind.

c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte gezogene Schneeflocke kreisförmig ist.

d) Definiere das Ereignis, dass mindestens eine der gezogenen Schneeflocken sternförmig ist, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

e) Definiere das Ereignis, dass keine der gezogenen Schneeflocken herzförmig ist, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

f) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Schneeflocke kreisförmig ist, gegeben dass die erste Schneeflocke sternförmig war.

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Aufgabe 3:

Kristoff hat eine Schatzkiste mit 25 Eiskristallen, von denen 8 weiß, 7 blau, 6 violett und 4 silberfarben sind. Er zieht ohne Zurücklegen vier Eiskristalle nacheinander.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall violett ist.

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden gezogenen Kristalle weiß sind.

c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte gezogene Kristall silberfarben ist.

d) Definiere das Ereignis, dass mindestens zwei der gezogenen Kristalle blau sind, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

e) Definiere das Ereignis, dass keiner der gezogenen Kristalle violett ist, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

f) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Kristall silberfarben ist, gegeben dass die ersten beiden Kristalle blau waren.

Lösung Aufgabe 1:

a)

Gegeben: Elsa hat insgesamt 6 magische Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Sie zieht ohne Zurücklegen zwei Kristalle nacheinander.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall rot ist, berechnet sich durch das Verhältnis der roten Kristalle zur Gesamtzahl der Kristalle.

$$P(\text{1. rot}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall rot ist, beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa 33,33 %.

b)

Gegeben: Insgesamt 6 Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Zwei Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kristalle blau sind, berechnet sich durch die Produktregel:
$$P(\text{1. blau} \cap \text{2. blau}) = P(\text{1. blau}) \cdot P(\text{2. blau} \mid \text{1. blau})$$
Es gibt 2 blaue Kristalle:
$$P(\text{1. blau}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Nach dem Ziehen eines blauen Kristalls bleiben noch 5 Kristalle übrig, davon 1 blau:
$$P(\text{2. blau} \mid \text{1. blau}) = \frac{1}{5}$$
$$P(\text{1. blau} \cap \text{2. blau}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kristalle blau sind, beträgt $\frac{1}{15}$ oder etwa 6,67 %.

c)

Gegeben: Insgesamt 6 Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Zwei Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gezogene Kristall grün ist.

Berechnung: Da die Ziehungen ohne Zurücklegen erfolgen, kann der zweite Zug beeinflusst sein durch den ersten Zug. Allerdings ist bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug die Farbe des ersten Zuges irrelevant für diese gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Kristall grün ist, dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Kristall in einer zufälligen Position zu ziehen:
$$P(\text{2. grün}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gezogene Kristall grün ist, beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa 33,33 %.

d)

Gegeben: Insgesamt 6 Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Zwei Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „mindestens ein gezogener Kristall ist rot“ kann als das Gegenereignis „kein gezogener Kristall ist rot“ betrachtet werden. Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und ziehen sie von 1 ab:
$$P(\text{mindestens 1 rot}) = 1 - P(\text{kein rot})$$
Berechnung von $P(\text{kein rot})$:
Es gibt 4 nicht-rote Kristalle. Die Wahrscheinlichkeit, zwei nicht-rote Kristalle zu ziehen:
$$P(\text{kein rot}) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$
Dann:
$$P(\text{mindestens 1 rot}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein gezogener Kristall rot ist, beträgt $\frac{3}{5}$ oder 60 %.

e)

Gegeben: Insgesamt 6 Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Zwei Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „kein gezogener Kristall ist blau“ bedeutet, dass beide gezogenen Kristalle nicht blau sind. Es gibt insgesamt 4 nicht-blaue Kristalle. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch:
$$P(\text{kein blau}) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass kein gezogener Kristall blau ist, beträgt $\frac{2}{5}$ oder 40 %.

f)

Gegeben: Insgesamt 6 Kristalle: 2 rote, 2 blaue und 2 grüne. Zwei Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Kristall grün ist, gegeben dass der erste Kristall rot war.

Berechnung: Bei bedingter Wahrscheinlichkeit gilt:
$$P(\text{2. grün} \mid \text{1. rot}) = \frac{P(\text{1. rot} \cap \text{2. grün})}{P(\text{1. rot})}$$
Berechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
$$P(\text{1. rot}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
$$P(\text{1. rot} \cap \text{2. grün}) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$$
Dann:
$$P(\text{2. grün} \mid \text{1. rot}) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{15} \cdot 3 = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

Ergebnis: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Kristall grün ist, gegeben dass der erste rot war, beträgt $\frac{2}{5}$ oder 40 %.

Lösung Aufgabe 2:

a)

Gegeben: Anna hat eine Kiste mit 15 verschiedenen Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Sie zieht ohne Zurücklegen drei Schneeflocken nacheinander.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Schneeflocke sternförmig ist, berechnet sich durch das Verhältnis der sternförmigen Schneeflocken zur Gesamtanzahl:
$$P(\text{1. sternförmig}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Schneeflocke sternförmig ist, beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa 33,33 %.

b)

Gegeben: Insgesamt 15 Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Drei Schneeflocken werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Schneeflocken herzförmig sind, berechnet sich durch die Produktregel:
$$P(\text{alle 3 herzförmig}) = \frac{5}{15} \cdot \frac{4}{14} \cdot \frac{3}{13} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{60}{2730} = \frac{2}{91}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Schneeflocken herzförmig sind, beträgt $\frac{2}{91}$ oder etwa 2,20 %.

c)

Gegeben: Insgesamt 15 Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Drei Schneeflocken werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte gezogene Schneeflocke kreisförmig ist, hängt von den ersten beiden Ziehungen ab. Da die Ziehungen ohne Zurücklegen erfolgen, kann die Reihenfolge unterschiedlich sein. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Schneeflocke kreisförmig ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, eine kreisförmige Schneeflocke aus den gesamten 15 für eine zufällige Position:
$$P(\text{3. kreisförmig}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte gezogene Schneeflocke kreisförmig ist, beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa 33,33 %.

d)

Gegeben: Insgesamt 15 Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Drei Schneeflocken werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „mindestens eine gezogene Schneeflocke ist sternförmig“ kann als das Gegenereignis „keine der gezogenen Schneeflocken ist sternförmig“ betrachtet werden. Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und ziehen sie von 1 ab:
$$P(\text{mindestens 1 sternförmig}) = 1 - P(\text{keine sternförmig})$$
Berechnung von $P(\text{keine sternförmig})$:
Es gibt 10 nicht-sternförmige Schneeflocken. Die Wahrscheinlichkeit, drei nicht-sternförmige Schneeflocken zu ziehen:
$$P(\text{keine sternförmig}) = \frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} = \frac{720}{2730} = \frac{48}{182} = \frac{24}{91}$$
Dann:
$$P(\text{mindestens 1 sternförmig}) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{67}{91}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der gezogenen Schneeflocken sternförmig ist, beträgt $\frac{67}{91}$ oder etwa 73,63 %.

e)

Gegeben: Insgesamt 15 Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Drei Schneeflocken werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „keine der gezogenen Schneeflocken ist herzförmig“ bedeutet, dass alle drei gezogenen Schneeflocken entweder sternförmig oder kreisförmig sind. Es gibt insgesamt 10 nicht-herzförmige Schneeflocken. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch:
$$P(\text{keine herzförmig}) = \frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} = \frac{720}{2730} = \frac{48}{182} = \frac{24}{91}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass keine der gezogenen Schneeflocken herzförmig ist, beträgt $\frac{24}{91}$ oder etwa 26,37 %.

f)

Gegeben: Insgesamt 15 Schneeflocken: 5 herzförmig, 5 sternförmig und 5 kreisförmig. Drei Schneeflocken werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Schneeflocke kreisförmig ist, gegeben dass die erste Schneeflocke sternförmig war.

Berechnung: Nach dem Ziehen der ersten sternförmigen Schneeflocke bleiben 14 Schneeflocken übrig, davon 5 kreisförmig. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist daher:
$$P(\text{3. kreisförmig} \mid \text{1. sternförmig}) = \frac{5}{14}$$

Ergebnis: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Schneeflocke kreisförmig ist, gegeben dass die erste sternförmig war, beträgt $\frac{5}{14}$ oder etwa 35,71 %.

Lösung Aufgabe 3:

a)

Gegeben: Kristoff hat eine Schatzkiste mit 25 Eiskristallen: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Er zieht ohne Zurücklegen vier Eiskristalle nacheinander.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall violett ist, berechnet sich durch das Verhältnis der violetten Kristalle zur Gesamtzahl:
$$P(\text{1. violett}) = \frac{6}{25}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Kristall violett ist, beträgt $\frac{6}{25}$ oder 24 %.

b)

Gegeben: Insgesamt 25 Eiskristalle: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Vier Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden gezogenen Kristalle weiß sind, berechnet sich durch die Produktregel:
$$P(\text{1. weiß} \cap \text{2. weiß}) = P(\text{1. weiß}) \cdot P(\text{2. weiß} \mid \text{1. weiß})$$
$$P(\text{1. weiß}) = \frac{8}{25}$$
Nach dem Ziehen eines weißen Kristalls bleiben 24 Kristalle übrig, davon 7 weiß:
$$P(\text{2. weiß} \mid \text{1. weiß}) = \frac{7}{24}$$
$$P(\text{1. weiß} \cap \text{2. weiß}) = \frac{8}{25} \cdot \frac{7}{24} = \frac{56}{600} = \frac{7}{75}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden gezogenen Kristalle weiß sind, beträgt $\frac{7}{75}$ oder etwa 9,33 %.

c)

Gegeben: Insgesamt 25 Eiskristalle: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Vier Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte gezogene Kristall silberfarben ist, kann als die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden, einen silberfarbenen Kristall in einer zufälligen Position zu ziehen, da die Reihenfolge der ersten drei Ziehungen keine Rolle spielt:
$$P(\text{4. silberfarben}) = \frac{4}{25}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte gezogene Kristall silberfarben ist, beträgt $\frac{4}{25}$ oder 16 %.

d)

Gegeben: Insgesamt 25 Eiskristalle: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Vier Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „mindestens zwei der gezogenen Kristalle sind blau“ umfasst die Fälle, in denen genau zwei, drei oder vier der gezogenen Kristalle blau sind. Da es nur 7 blaue Kristalle gibt und wir vier ziehen, betrachten wir die möglichen Kombinationen:

1. Genau zwei blaue:
   $$P(\text{genau 2 blau}) = \frac{\binom{7}{2} \cdot \binom{18}{2}}{\binom{25}{4}}$$
2. Genau drei blaue:
   $$P(\text{genau 3 blau}) = \frac{\binom{7}{3} \cdot \binom{18}{1}}{\binom{25}{4}}$$
3. Genau vier blaue:
   $$P(\text{genau 4 blau}) = \frac{\binom{7}{4}}{\binom{25}{4}}$$
   Berechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
   $$\binom{7}{2} = 21, \quad \binom{18}{2} = 153, \quad \binom{25}{4} = 12650$$
   $$\binom{7}{3} = 35, \quad \binom{18}{1} = 18$$
   $$\binom{7}{4} = 35$$
   Dann:
   $$P(\text{genau 2 blau}) = \frac{21 \cdot 153}{12650} = \frac{3213}{12650} \approx 0,2542$$
   $$P(\text{genau 3 blau}) = \frac{35 \cdot 18}{12650} = \frac{630}{12650} \approx 0,0498$$
   $$P(\text{genau 4 blau}) = \frac{35}{12650} \approx 0,00276$$
   Addieren der Wahrscheinlichkeiten:
   $$P(\text{mindestens 2 blau}) \approx 0,2542 + 0,0498 + 0,00276 \approx 0,306$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der gezogenen Kristalle blau sind, beträgt etwa 0,306 oder 30,6 %.

e)

Gegeben: Insgesamt 25 Eiskristalle: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Vier Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.

Berechnung: Das Ereignis „kein gezogener Kristall ist violett“ bedeutet, dass alle vier gezogenen Kristalle nicht violett sind. Es gibt insgesamt 19 nicht-violette Kristalle. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch:
$$P(\text{kein violett}) = \frac{19}{25} \cdot \frac{18}{24} \cdot \frac{17}{23} \cdot \frac{16}{22} = \frac{93024}{303600} \approx 0,306$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der gezogenen Kristalle violett ist, beträgt etwa 0,306 oder 30,6 %.

f)

Gegeben: Insgesamt 25 Eiskristalle: 8 weiße, 7 blaue, 6 violette und 4 silberfarbene. Vier Kristalle werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Kristall silberfarben ist, gegeben dass die ersten beiden Kristalle blau waren.

Berechnung: Gegeben, dass die ersten beiden Kristalle blau sind, verbleiben 23 Kristalle, davon 4 silberfarbene. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist daher:
$$P(\text{3. silberfarben} \mid \text{1. blau} \cap \text{2. blau}) = \frac{4}{23}$$

Ergebnis: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Kristall silberfarben ist, gegeben dass die ersten beiden Kristalle blau waren, beträgt $\frac{4}{23}$ oder etwa 17,39 %.