Um die Schnittpunkte zu bestimmen, setzen wir die Funktionen gleich:

$$3x^2 + 5x - 5 = x + 1$$

Nun bringen wir alles auf eine Seite:

$$3x^2 + 5x - 5 - x - 1 = 0$$

$$3x^2 + 4x - 6 = 0$$

Die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen wir mit der Mitternachtsformel:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 72}}{6}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{88}}{6}$$

Da $\sqrt{88} = 2\sqrt{22}$, vereinfacht sich dies zu:

$$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{22}}{6}$$

Durch Kürzen erhalten wir:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{3}$$

Die zwei Lösungen für $x$ sind:

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{22}}{3}$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{22}}{3}$$

Nun berechnen wir die zugehörigen $y$-Werte, indem wir die Werte für $x$ in $g(x)$ einsetzen:

Für $x_1$:

$$y1 = x1 + 1 = \frac{-2 + \sqrt{22}}{3} + 1 = \frac{-2 + \sqrt{22} + 3}{3} = \frac{1 + \sqrt{22}}{3}$$

Für $x_2$:

$$y2 = x2 + 1 = \frac{-2 - \sqrt{22}}{3} + 1 = \frac{-2 - \sqrt{22} + 3}{3} = \frac{1 - \sqrt{22}}{3}$$

$\textbf{Ergebnis:}$ Die Schnittpunkte sind

$$S_1 \left( \frac{-2 + \sqrt{22}}{3} \;\bigg|\; \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \right)$$

und

$$S_2 \left( \frac{-2 - \sqrt{22}}{3} \;\bigg|\; \frac{1 - \sqrt{22}}{3} \right).$$