Aufgabe 1

Sei $B$ die Breite und $L$ die Länge des Fußballfeldes in Metern. Gegeben ist:
$$L = B + 20$$
$$L \cdot B = 18000 \, \text{m}^2$$

Durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite ergibt sich:
$$(B + 20) \cdot B = 18000$$
$$B^2 + 20B - 18000 = 0$$

Um die Breite $B$ zu bestimmen, lösen wir die quadratische Gleichung mittels der Mitternachtsformel:
$$\Delta = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18000) = 400 + 72000 = 72400$$
$$B = \frac{-20 \pm \sqrt{72400}}{2} = \frac{-20 \pm 269}{2}$$

Da die Breite positiv sein muss, wählen wir die positive Lösung:
$$B = \frac{249}{2} = 124{,}5 \, \text{Meter}$$

Die Länge $L$ berechnet sich dann zu:
$$L = B + 20 = 124{,}5 + 20 = 144{,}5 \, \text{Meter}$$

$\textbf{Antwort:}$ Die Breite des Fußballfeldes beträgt $B = 124{,}5 \, \text{Meter}$ und die Länge $L = 144{,}5 \, \text{Meter}$.

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Aufgabe 2

Der Erlös $E$ in Tausend Euro wird durch die Gleichung beschrieben:
$$E = -2x^2 + 40x$$
wobei $x$ die Anzahl der verkauften hundert Tickets ist.

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, die nach unten geöffnet ist, befindet sich das Maximum am Scheitelpunkt. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich zu:
$$x_{\text{opt}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = \frac{40}{4} = 10$$

Der maximale Erlös $E{\text{max}}$ ist dann: $$E$${\text{max}} = -2(10)^2 + 40 \cdot 10 = -200 + 400 = 200 \, \text{Tausend Euro}

Die optimale Anzahl verkaufter Tickets in Einheiten von hundert ist $x = 10$, das entspricht:
$$10 \cdot 100 = 1000 \, \text{Tickets}$$

$\textbf{Antwort:}$ Der maximale Erlös beträgt $200 \, \text{Tausend Euro}$ bei einer optimalen Anzahl von $1000$ verkauften Tickets.

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Aufgabe 3

Die Gesamtkosten $C$ in Euro für $x$ Gäste ergeben sich aus der Gleichung:
$$C = 5x + 0{,}5x^2$$

Um die Anzahl der Gäste $x$ zu finden, bei der die Kosten minimal sind, betrachten wir die Funktion als Parabel, die nach oben geöffnet ist. Das Minimum liegt am Scheitelpunkt.

Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich zu:
$$x_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 0{,}5} = -\frac{5}{1} = -5$$

Da die Anzahl der Gäste nicht negativ sein kann, überprüfen wir die Ableitung.

Die erste Ableitung von $C$ ist:
$$C' = 5 + x$$
Setzen wir $C' = 0$:
$$5 + x = 0 \implies x = -5$$

Da eine negative Anzahl von Gästen keinen Sinn ergibt, gibt es kein Minimum im positiven Bereich. Die Kostenfunktion nimmt für $x \geq 0$ ihren minimalen Wert bei $x = 0$ an:
$$C(0) = 0$$

Allerdings ist dies möglicherweise unlogisch im Kontext. Möglicherweise liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor, aber gemäß den gegebenen Informationen:

$\textbf{Antwort:}$ Die Kosten sind minimal bei $x = 0$ Gästen.

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Aufgabe 4

Die Leistung $P$ der Mannschaft wird durch die Gleichung beschrieben:
$$P = -x^2 + 12x + 20$$
wobei $x$ die Anzahl der zusätzlichen Trainingseinheiten ist.

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, die nach unten geöffnet ist, liegt das Maximum am Scheitelpunkt. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich zu:
$$x_{\text{opt}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = \frac{12}{2} = 6$$

$\textbf{Antwort:}$ Die optimale Anzahl an zusätzlichen Trainingseinheiten beträgt $6$.

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Aufgabe 5

Die Kosten $K$ in Tausend Euro für die Erweiterung des Stadions sind gegeben durch:
$$K = 3y^2 + 15y + 20$$
wobei $y$ die Anzahl der zusätzlichen Sitzreihen ist.

Wir möchten die Anzahl der Sitzreihen $y$ bestimmen, sodass die Kosten $K$ $80 \, \text{Tausend Euro}$ nicht überschreiten:
$$3y^2 + 15y + 20 \leq 80$$
$$3y^2 + 15y - 60 \leq 0$$

Teilen durch 3:
$$y^2 + 5y - 20 \leq 0$$

Lösen der Gleichung $y^2 + 5y - 20 = 0$ mittels der Mitternachtsformel:
$$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 25 + 80 = 105$$
$$y = \frac{-5 \pm \sqrt{105}}{2}$$

Da $y$ positiv sein muss:
$$y = \frac{-5 + \sqrt{105}}{2} \approx \frac{-5 + 10{,}247}{2} \approx 2{,}623$$

Da die Anzahl der Sitzreihen eine ganze Zahl sein muss, dürfen höchstens $y = 2$ zusätzliche Sitzreihen gebaut werden, um die Kosten unter $80 \, \text{Tausend Euro}$ zu halten.

$\textbf{Antwort:}$ Es dürfen maximal $2$ zusätzliche Sitzreihen gebaut werden, damit die Kosten $80 \, \text{Tausend Euro}$ nicht überschreiten.

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Aufgabe 6

Der Gewinn $G$ in Euro wird durch die Gleichung beschrieben:
$$G = -5x^2 + 150x - 200$$
wobei $x$ die Anzahl der verkauften Trikots in Dutzend ist.

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, die nach unten geöffnet ist, befindet sich das Maximum am Scheitelpunkt. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich zu:
$$x_{\text{opt}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{150}{2 \cdot (-5)} = \frac{150}{10} = 15$$

$\textbf{Antwort:}$ Die optimale Anzahl verkaufter Trikots beträgt $15$ Dutzend, um den maximalen Gewinn zu erzielen.